Попытался разобраться как строить треугольник A2B2C2 и случайно додумался вот до такого "доказательства" теоремы Бориса:
0. Дано:
    A1B1 = A2B2,
    B1C1 = B2C2,
    ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2.
1. По теореме синусов из перечисленного в п. 0 находим, что sin(∠ B2С2A2) = (A2B2 * sin(∠ B2A2C2)) / B2C2 и sin(∠ B1С1A1) = (A1B1 * sin(∠ B1A1C1)) / B1C1. Значит угол ∠ B2С2A2 = ∠ B1С1A1.
2. Соответственно, оставшийся угол A1B1C1 = A2B2C2 (следствие из суммы углов в треугольнике).
3. Теорема доказана!

Если найдете ошибку в доказательстве - значит решите задачу ;)

Wrong is decision in punct 1. I don't pusblish it, because it will be serious prompting.